- 28,555
- 46
- 8 Ноя 2022
И снова виноваты нейросети…
<div class="articl-text-cover" style="position:relative;width:100%;max-width:800px;margin-left:auto;margin-right:auto;aspect-ratio:1200/676;margin-bottom:2rem;overflow:hidden">
<div itemprop="articleBody">Искусственный интеллект начал справляться с математическими задачами, которые десятилетиями не поддавались исследователям. В мае 2026 года модель OpenAI опровергла гипотезу Эрдёша о единичных расстояниях, сформулированную в 1946 году. Система нашла геометрические конструкции, которые нарушали предполагаемую границу и тем самым разрушали представление, сохранявшееся почти 80 лет.
За последние месяцы появились и другие работы, где нейросети участвовали в поиске закономерностей, формулировали гипотезы, подбирали контрпримеры и помогали строить доказательства. Большинство новых результатов математики по-прежнему получают самостоятельно, однако граница между человеческой и машинной работой постепенно размывается. Современные модели уже умеют предлагать идеи, которые специалисты затем проверяют, упрощают и переносят в другие области.
Удобным испытанием для подобных систем служат задачи Пауля Эрдёша. Венгерский математик работал сразу во многих направлениях, сотрудничал с сотнями коллег и оставил после себя обширный список открытых вопросов. Часть проблем за прошедшие десятилетия удалось решить, но многие до сих пор требуют новых методов. Чёткие условия и разная сложность превратили задачи Эрдёша в подходящий материал для проверки математических способностей ИИ.
Одна из них связана с единичными расстояниями между точками на плоскости. Представим набор точек и посчитаем все пары, расстояние между которыми равно единице. Математиков интересует, насколько большим может оказаться число подобных пар при заданном количестве точек.
Задачу можно записать на языке теории графов. Каждая точка становится вершиной, а две вершины соединяются ребром, если расстояние между ними равно единице. Исследователи пытаются определить, насколько плотным может быть подобный граф по мере роста числа вершин.
Эрдёш предположил, что максимальное количество единичных расстояний растёт лишь немного быстрее числа самих точек. Лучшие известные примеры долгое время напоминали особым образом устроенные квадратные решётки. Модель OpenAI выбрала другой путь и связала комбинаторную геометрию с алгебраической теорией чисел. В построении использовались башни вполне вещественных числовых полей, то есть последовательности расширений, в которых все числа остаются вещественными.
Полученные конфигурации содержали больше единичных расстояний, чем допускала оценка Эрдёша. Контрпример опроверг гипотезу, но не закрыл исходную задачу. Математики по-прежнему не знают точной скорости, с которой растёт максимально возможное число пар. Прежняя предполагаемая граница оказалась неверной, а окончательный ответ ещё предстоит найти.
Математики проверили рассуждение модели, сократили доказательство и уточнили отдельные переходы. Машина предложила основную конструкцию, но специалистам пришлось привести длинную аргументацию к форме, пригодной для экспертной проверки и публикации.
Примерно через неделю разработанная техника помогла продвинуться в другой задаче, связанной с суммами и произведениями вещественных чисел. Для конечного множества A можно построить множество A + A, куда входят все числа вида a + b, а также множество AA, состоящее из произведений ab. В обоих случаях a и b выбирают из исходного набора.
Числа могут быть устроены так, что разных сумм получается сравнительно мало. Однако подобная аддитивная упорядоченность обычно приводит к большому количеству произведений. При мультипликативной структуре возникает обратная ситуация: произведений мало, зато суммы быстро множатся. Гипотеза утверждала, что большое множество вещественных чисел не способно одновременно давать мало различных сумм и произведений.
Математики построили сколь угодно большие наборы, для которых оба множества росли медленнее, чем предсказывало прежнее предположение. Элементы выбирали среди алгебраических целых чисел в числовых полях, чья степень увеличивалась примерно пропорционально логарифму размера набора. Конструкция опровергла гипотезу о суммах и произведениях над вещественными числами. Родственные методы принесли результаты для p-адических чисел, конечных полей и полей функций положительной характеристики.
Вернуться к этой проблеме помог контрпример, найденный OpenAI. Нейросеть не подготовила готовое доказательство для новой задачи, но использованный ею метод подсказал направление поиска. Исследователи разобрали конструкцию и выяснили, что лежащая в её основе идея работает далеко за пределами геометрии единичных расстояний.
Компьютеры помогают математикам задолго до появления генеративного ИИ. Программы перебирают варианты, выполняют символьные вычисления, ищут контрпримеры и проверяют огромное число частных случаев. Суперкомпьютеры решают системы уравнений и моделируют процессы, которые невозможно подробно рассчитать вручную.
В чистой математике вычислительные доказательства иногда разрастаются до колоссальных объёмов. Наборы данных и промежуточные вычисления могут занимать петабайты, то есть миллионы гигабайт. Ни один человек не способен последовательно просмотреть весь материал и вручную проверить каждую операцию.
Для контроля используют системы формальной верификации. Математическое рассуждение записывают на специальном языке, где точно задают определения, аксиомы и каждый логический переход. Затем программа проверяет, действительно ли очередной вывод следует из предыдущих утверждений.
Система формальной проверки обычно не придумывает доказательство самостоятельно. Сначала человек переводит аргументацию в строгую форму, устраняя пропуски и неявные переходы. После этого программа последовательно проверяет всю цепочку. Работа требует времени, зато помогает обнаружить ошибки, которые легко пропустить в длинном и технически сложном рассуждении.
Недавний препринт по теории Рамсея объединил вычислительный поиск, искусственный интеллект и формальную проверку. Теория Рамсея изучает порядок, который неизбежно возникает внутри достаточно больших структур, даже если связи между элементами кажутся хаотичными.
Простой пример можно представить как группу людей. При достаточно большом числе участников обязательно найдётся компания заданного размера, где все знакомы друг с другом, либо группа, где никто ни с кем не знаком. На языке теории графов людей обозначают вершинами, а знакомства показывают рёбрами. Задача состоит в том, чтобы определить минимальный размер графа, при котором нужная конфигурация возникает при любом допустимом расположении связей.
Сначала исследователи провели большой компьютерный перебор и собрали множество частных результатов. Нейросеть заметила общий рисунок в данных, предложила закономерность и помогла выстроить доказательство. Затем аргументацию перевели на язык системы формальной верификации, которая проверила логические переходы.
Каждый инструмент выполнял отдельную работу. Вычислительный поиск находил примеры, ИИ связывал их общей идеей, математики превращали наблюдение в последовательное рассуждение, а программа контролировала его строгость. Подобная схема показывает, как может выглядеть дальнейшая работа с трудными задачами.
Нейросеть в такой системе не заменяет математика. Она перебирает направления, замечает связи между разными областями и предлагает конструкции, которые человек мог не рассмотреть. Исследователь выбирает значимые вопросы, оценивает полученный результат, ищет слабые места и объясняет, почему найденная идея вообще важна.
Разные области математики поддаются автоматизации неодинаково. Теория графов и комбинаторика хорошо подходят для компьютерного поиска, поскольку многие проблемы сводятся к конечным наборам вершин, рёбер и допустимых конфигураций. Программа может систематически перебирать все конфигурации и сравнивать полученные структуры.
С задачами, которые требуют сложной геометрической интуиции, длинной цепочки абстрактных определений или построения новой теории, модели пока справляются хуже. На каждый удачный результат приходятся многочисленные попытки, закончившиеся ошибкой. Нейросети пропускают условия, предлагают неверные переходы и иногда ссылаются на несуществующие утверждения. Поэтому машинное доказательство нельзя принимать без независимой проверки.
Самые известные открытые проблемы пока не поддаются ни людям, ни ИИ. Нерешёнными остаются шесть задач тысячелетия, за каждую из которых Институт Клэя назначил премию в один миллион долларов. В список входят гипотеза Римана, гипотеза Ходжа, проблема существования и гладкости решений уравнений Навье – Стокса, задача P против NP, гипотеза Бёрча – Свиннертона-Дайера и вопрос о существовании теории Янга – Миллса с массовой щелью. Современные модели ещё не предложили общепринятого доказательства или опровержения ни для одной из них.
Пока невозможно предсказать, насколько далеко продвинутся математические способности ИИ через пять или десять лет. Нынешние работы показывают более близкую перспективу: модели предлагают гипотезы и конструкции, обычные программы проверяют множество конкретных примеров, системы формальной верификации контролируют логику, а математики связывают отдельные результаты и решают, куда двигаться дальше.
Полная задача о максимальном количестве единичных расстояний всё ещё открыта. Однако найденный в мае контрпример уже принёс конкретный результат: прежняя оценка Эрдёша оказалась неверной, а использованный для её опровержения метод помог решить другую давнюю проблему.
<div class="articl-text-cover" style="position:relative;width:100%;max-width:800px;margin-left:auto;margin-right:auto;aspect-ratio:1200/676;margin-bottom:2rem;overflow:hidden">
<div itemprop="articleBody">Искусственный интеллект начал справляться с математическими задачами, которые десятилетиями не поддавались исследователям. В мае 2026 года модель OpenAI опровергла гипотезу Эрдёша о единичных расстояниях, сформулированную в 1946 году. Система нашла геометрические конструкции, которые нарушали предполагаемую границу и тем самым разрушали представление, сохранявшееся почти 80 лет.
За последние месяцы появились и другие работы, где нейросети участвовали в поиске закономерностей, формулировали гипотезы, подбирали контрпримеры и помогали строить доказательства. Большинство новых результатов математики по-прежнему получают самостоятельно, однако граница между человеческой и машинной работой постепенно размывается. Современные модели уже умеют предлагать идеи, которые специалисты затем проверяют, упрощают и переносят в другие области.
Удобным испытанием для подобных систем служат задачи Пауля Эрдёша. Венгерский математик работал сразу во многих направлениях, сотрудничал с сотнями коллег и оставил после себя обширный список открытых вопросов. Часть проблем за прошедшие десятилетия удалось решить, но многие до сих пор требуют новых методов. Чёткие условия и разная сложность превратили задачи Эрдёша в подходящий материал для проверки математических способностей ИИ.
Одна из них связана с единичными расстояниями между точками на плоскости. Представим набор точек и посчитаем все пары, расстояние между которыми равно единице. Математиков интересует, насколько большим может оказаться число подобных пар при заданном количестве точек.
Задачу можно записать на языке теории графов. Каждая точка становится вершиной, а две вершины соединяются ребром, если расстояние между ними равно единице. Исследователи пытаются определить, насколько плотным может быть подобный граф по мере роста числа вершин.
Эрдёш предположил, что максимальное количество единичных расстояний растёт лишь немного быстрее числа самих точек. Лучшие известные примеры долгое время напоминали особым образом устроенные квадратные решётки. Модель OpenAI выбрала другой путь и связала комбинаторную геометрию с алгебраической теорией чисел. В построении использовались башни вполне вещественных числовых полей, то есть последовательности расширений, в которых все числа остаются вещественными.
Полученные конфигурации содержали больше единичных расстояний, чем допускала оценка Эрдёша. Контрпример опроверг гипотезу, но не закрыл исходную задачу. Математики по-прежнему не знают точной скорости, с которой растёт максимально возможное число пар. Прежняя предполагаемая граница оказалась неверной, а окончательный ответ ещё предстоит найти.
Математики проверили рассуждение модели, сократили доказательство и уточнили отдельные переходы. Машина предложила основную конструкцию, но специалистам пришлось привести длинную аргументацию к форме, пригодной для экспертной проверки и публикации.
Примерно через неделю разработанная техника помогла продвинуться в другой задаче, связанной с суммами и произведениями вещественных чисел. Для конечного множества A можно построить множество A + A, куда входят все числа вида a + b, а также множество AA, состоящее из произведений ab. В обоих случаях a и b выбирают из исходного набора.
Числа могут быть устроены так, что разных сумм получается сравнительно мало. Однако подобная аддитивная упорядоченность обычно приводит к большому количеству произведений. При мультипликативной структуре возникает обратная ситуация: произведений мало, зато суммы быстро множатся. Гипотеза утверждала, что большое множество вещественных чисел не способно одновременно давать мало различных сумм и произведений.
Математики построили сколь угодно большие наборы, для которых оба множества росли медленнее, чем предсказывало прежнее предположение. Элементы выбирали среди алгебраических целых чисел в числовых полях, чья степень увеличивалась примерно пропорционально логарифму размера набора. Конструкция опровергла гипотезу о суммах и произведениях над вещественными числами. Родственные методы принесли результаты для p-адических чисел, конечных полей и полей функций положительной характеристики.
Вернуться к этой проблеме помог контрпример, найденный OpenAI. Нейросеть не подготовила готовое доказательство для новой задачи, но использованный ею метод подсказал направление поиска. Исследователи разобрали конструкцию и выяснили, что лежащая в её основе идея работает далеко за пределами геометрии единичных расстояний.
Компьютеры помогают математикам задолго до появления генеративного ИИ. Программы перебирают варианты, выполняют символьные вычисления, ищут контрпримеры и проверяют огромное число частных случаев. Суперкомпьютеры решают системы уравнений и моделируют процессы, которые невозможно подробно рассчитать вручную.
В чистой математике вычислительные доказательства иногда разрастаются до колоссальных объёмов. Наборы данных и промежуточные вычисления могут занимать петабайты, то есть миллионы гигабайт. Ни один человек не способен последовательно просмотреть весь материал и вручную проверить каждую операцию.
Для контроля используют системы формальной верификации. Математическое рассуждение записывают на специальном языке, где точно задают определения, аксиомы и каждый логический переход. Затем программа проверяет, действительно ли очередной вывод следует из предыдущих утверждений.
Система формальной проверки обычно не придумывает доказательство самостоятельно. Сначала человек переводит аргументацию в строгую форму, устраняя пропуски и неявные переходы. После этого программа последовательно проверяет всю цепочку. Работа требует времени, зато помогает обнаружить ошибки, которые легко пропустить в длинном и технически сложном рассуждении.
Недавний препринт по теории Рамсея объединил вычислительный поиск, искусственный интеллект и формальную проверку. Теория Рамсея изучает порядок, который неизбежно возникает внутри достаточно больших структур, даже если связи между элементами кажутся хаотичными.
Простой пример можно представить как группу людей. При достаточно большом числе участников обязательно найдётся компания заданного размера, где все знакомы друг с другом, либо группа, где никто ни с кем не знаком. На языке теории графов людей обозначают вершинами, а знакомства показывают рёбрами. Задача состоит в том, чтобы определить минимальный размер графа, при котором нужная конфигурация возникает при любом допустимом расположении связей.
Сначала исследователи провели большой компьютерный перебор и собрали множество частных результатов. Нейросеть заметила общий рисунок в данных, предложила закономерность и помогла выстроить доказательство. Затем аргументацию перевели на язык системы формальной верификации, которая проверила логические переходы.
Каждый инструмент выполнял отдельную работу. Вычислительный поиск находил примеры, ИИ связывал их общей идеей, математики превращали наблюдение в последовательное рассуждение, а программа контролировала его строгость. Подобная схема показывает, как может выглядеть дальнейшая работа с трудными задачами.
Нейросеть в такой системе не заменяет математика. Она перебирает направления, замечает связи между разными областями и предлагает конструкции, которые человек мог не рассмотреть. Исследователь выбирает значимые вопросы, оценивает полученный результат, ищет слабые места и объясняет, почему найденная идея вообще важна.
Разные области математики поддаются автоматизации неодинаково. Теория графов и комбинаторика хорошо подходят для компьютерного поиска, поскольку многие проблемы сводятся к конечным наборам вершин, рёбер и допустимых конфигураций. Программа может систематически перебирать все конфигурации и сравнивать полученные структуры.
С задачами, которые требуют сложной геометрической интуиции, длинной цепочки абстрактных определений или построения новой теории, модели пока справляются хуже. На каждый удачный результат приходятся многочисленные попытки, закончившиеся ошибкой. Нейросети пропускают условия, предлагают неверные переходы и иногда ссылаются на несуществующие утверждения. Поэтому машинное доказательство нельзя принимать без независимой проверки.
Самые известные открытые проблемы пока не поддаются ни людям, ни ИИ. Нерешёнными остаются шесть задач тысячелетия, за каждую из которых Институт Клэя назначил премию в один миллион долларов. В список входят гипотеза Римана, гипотеза Ходжа, проблема существования и гладкости решений уравнений Навье – Стокса, задача P против NP, гипотеза Бёрча – Свиннертона-Дайера и вопрос о существовании теории Янга – Миллса с массовой щелью. Современные модели ещё не предложили общепринятого доказательства или опровержения ни для одной из них.
Пока невозможно предсказать, насколько далеко продвинутся математические способности ИИ через пять или десять лет. Нынешние работы показывают более близкую перспективу: модели предлагают гипотезы и конструкции, обычные программы проверяют множество конкретных примеров, системы формальной верификации контролируют логику, а математики связывают отдельные результаты и решают, куда двигаться дальше.
Полная задача о максимальном количестве единичных расстояний всё ещё открыта. Однако найденный в мае контрпример уже принёс конкретный результат: прежняя оценка Эрдёша оказалась неверной, а использованный для её опровержения метод помог решить другую давнюю проблему.
- Источник новости
- www.securitylab.ru
